скачать файл
ч. 1

Тема 4. Нелінійні економетричні моделі

План теми

  1. Загальні поняття і визначення.

  2. Нелінійні економетричні моделі, які зводяться до лінійних.

  3. Прогнозування та економіко-математичний аналіз на основі нелінійних економетричних моделей.



1. Загальні поняття і визначення
У багатьох практичних випадках моделювання економічних явищ і процесів лінійними економетричними моделями дає цілком задовільний результат і може використовуватися для аналізу і прогнозування. Однак внаслідок різноманіття і складності економічних явищ і процесів обмежитися застосуванням тільки лінійних моделей неможливо. Багато економічних залежностей, як свідчить економічна теорія, не є лінійними по суті, і тому їх моделювання лінійними залежностями, безумовно, не дасть позитивний результат. У цьому випадку необхідно використовувати нелінійні економетричні моделі.

aОзначення 1. Нелінійна економетрична модель – це регресійна модель, яка встановлює нелінійну залежність між економічними показниками, один з яких є залежною (пояснюваною) змінною, а інші – незалежними (пояснюючими) змінними.

За методами оцінювання параметрів усі нелінійні економетричні моделі поділяються на два типи:

1) нелінійні за факторами, але лінійні за параметрами;

2) нелінійні за факторами і за параметрами.



aОзначення 2. Економетричні моделі, які є нелінійними за факторами, але лінійними за параметрами називаються квазілінійними.

Будь-яка квазілінійна модель у загальному випадку може бути представлена у наступному вигляді:



( 1 )

де – може бути різними нелінійними функціями xj .

Квазілінійні моделі є більш простим і привабливим варіантом нелінійних моделей. Їх привабливість пояснюється тим, що оцінки параметрів таких моделей можуть бути отримані методами лінійного регресійного аналізу. Прикладом такої моделі може бути модель попиту, для якої функція попиту має наступний вигляд :

, ( 2 )

де Q – попит; P - ціна; β0, β1 i β2 - параметри моделі.

Нелінійні за факторами і за параметрами економетричні моделі є більш складними і оцінювання їх параметрів, як правило, виконується методами нелінійного регресійного аналізу. Прикладом такої моделі може бути модель, яка описує залежність між об’ємом надходжень до бюджету і податковою ставкою на основі відомої кривої Лаффера :

, ( 3 )

де Y – податкові надходження; х – податкова ставка; a, b і c – параметри моделі.

Порівнюючи лінійні і нелінійні екнометричні моделі можна зробити наступні висновки.

1) Лінійна класична регресійна модель і відповідні методи оцінювання її параметрів, тестування і прогнозування в цілому теоретично краще обґрунтовані, ніж нелінійні.

2) Відносно простоти обчислювального апарату , лінійна модель регресії також не перевершена ніякими іншими типами моделей.

Виходячи із сказаного у сучасній практиці економетричного моделювання при необхідності застосування нелінійних моделей практикуються наступні два підходи:

1) замість складної нелінійної функціональної залежності навіть з невеликою кількістю факторів намагаються застосувати лінійну регресійну функцію з великою кількістю факторів ;

2) за допомогою математичних перетворень намагаються звести (перетворити) нелінійну функцію на лінійну.



aОзначення 3. Процес приведення нелінійної регресійної моделі до лінійної називається лінеаризацією, а сама модель лінеаризованою або лінійною формою.

Для лінеаризованих моделей повністю зберігається вся методологія економетричного дослідження, яка була розглянута у попередній темі для загальної лінійної регресійної моделі. Можливість лінеаризації моделі залежить від типу нелінійної моделі.




2. Нелінійні економетричні моделі, які зводяться до лінійних
2.1. Степенева модель

Степенева модель характеризується наступною функцією регресії:



, ( 4 )

де α, β - параметри моделі.

Нелінійна модель на основі степеневої функції регресії є однією з найпоширеніших у практиці моделей і описує достатньо широкий спектр економічних явищ і процесів, таких як: процес виробництва (виробничі функції), попит на товари різних категорій (криві Енгеля), для опису кривих байдужості та інших.

При моделювання економічних явищ і процесів розглядаються і мають зміст тільки випадки коли α ≥ 0, що є типовим для економічних процесів. Якщо значення параметру β – не ціле число, то розглядається лише випадок, коли х 0. При цьому в залежності від знака і значення параметра β модель може описувати різні економічні процеси: прискорене зростання, уповільнене зростання і спад.



у

у

у

β < 0

β > 1

0 < β < 1




х

а) прискорене зростання



х

х

б) уповільнене зростання


в) спад


Рис. 1. Графіки степеневої функції


Лінеаризація функції ( 4 ) виконується у два кроки. Спочатку виконується логарифмування лівої і правої частини виразу (4):

,

а потім вводиться наступна заміна змінних : , і нелінійна функція ( 4 ) зводиться до наступної лінійної форми :



. ( 5 )

Крім однофакторної степеневої функції ( 4 ) широке розповсюдження, особливо при побудові виробничих функцій (виробнича функція Кобба-Дугласа), набули багатофакторні мультиплікативні моделі виду :



, ( 6 )

лінеаризація яких виконується так само, як і для розглянутого випадку однієї пояснюючої змінної.



Зауваження 1. Степеневу модель називають log-linear моделлю, оскільки в процесі лінеаризації після логарифмування функція регресії має як логарифм залежної змінної так і незалежної.

Зауваження 2. Слід зазначити, що параметр β у степеневій моделі характеризує еластичність змінної y за змінною x, тобто цей параметр фактично дорівнює коефіцієнту еластичності y за x. Тому часто степеневу модель ще називають моделлю постійної еластичності , що вказує на можливі напрямки її застосування.

Зауваження 3. Для отримання якісних оцінок (BLUE – оцінок) параметрів лінеаризованої моделі стохастична складова лінійної форма повинна задовольняти усім припущенням класичного лінійного регресійного аналізу. Це можливо, якщо до лінійної форми ця складова буде входити як адитивна складова :



. ( 7 )

Звідки витікає, що до вихідної нелінійної форми ( 4 ) стохастична складова повинна входити як мультиплікативна складова наступним чином (наводиться без доказу) :



. ( 8 )
2.2. Показникова (експоненційна ) модель

Для показникової моделі функція регресії має декілька форм представлення :



Основна: , ( 9 )

Еквівалентні: , ( 10 )

, ( 11 )

. ( 12 )

де α, β, β0, β1, r, – параметри моделей.

Використовується експоненціальна модель для опису швидкозростаючих або швидкоспадних економічних процесів. Найбільш типовим її застосуванням є ситуація, коли аналізується змінна залежної змінної y з постійним темпом приросту у часі. Наприклад, форма ( 11 ) найчастіше використовується у фінансах (r – норма річного відсотка).

Лінеаризація показникової фукції виконується, як і для степеневої, шляхом застосування операції логарифмування і подальшої заміни змінних :



,

де зміст параметрів β0 і β1 у отриманій лінійній формі є очевидним з виразів (13 ) – ( 16 ).



Зауваження 4. Показникова модель називають log-lin моделлю, оскільки в процесі лінеаризації після логарифмування вона має тільки логарифм залежної змінної у лівій частині лінійної форми , а незалежна змінна залишається без логарифмічних перетворень.

Зауваження 5. Для отримання якісних оцінок (BLUE – оцінок) параметрів лінеаризованої моделі ,як і у випадку із степеневою моделлю, стохастична складова лінійної форми повинна задовольняти усім припущенням класичного лінійного регресійного аналізу. Це можливо, якщо до лінійної форми ця складова буде входити як адитивна складова. Наприклад, для випадку основної форми показникової функції маємо :

, ( 17 )

Звідки витікає, що до вихідної нелінійної форми ( 9 ) стохастична складова повинна входити як мультиплікативна складова наступним чином (наводиться без доказу) :



. ( 18 )

Аналогічно можна отримати вираз показникової моделі для еквівалентних форм показникової функції регресії.


2.3. Зворотна модель

Зворотна функція регресії має вигляд :



, ( 19 )

а модель :



, ( 20 )
де β0 і β1 – параметри моделі.

Особливістю функції (19) є те, що при залежна змінна моделі у прямує до свого граничного значення β0 ,тобто функція ( 19 ) має асимптоту β0. Внаслідок цього функція ( 19 ) застосовується для моделювання економічних явищ і процесів, обмежених зверху або знизу. Найбільш поширеним застосуванням таких моделей є кількісний опис залежності попиту на блага y від доходу x (криві Торнквіста) , а також залежності зміни заробітної плати y від рівня безробіття x (крива Філіпса).

Графік зворотної функції значною мірою залежить від значень і знаків параметрів β0 і β1 . Вигляд графіків зворотної функції при різних значеннях і знаках параметрів β0 і β1 наведено на рис. 2.

Як видно з ( 20 ) зворотна модель відноситься до квазілінійних моделей, оскільки може бути поданою у вигляді ( 1 ). У зв’язку з цим лінеаризація зворотної моделі здійснюється простою заміною змінної: . Після підстановки в ( 20 ) нової змінної отримуємо наступну модель парної лінійної регресії :


. ( 21 )



y

y

β0

y

β0 < 0

β1 > 0




β0 > 0

β1 > 0






β0 > 0

β1 < 0







β0



x

x

x



0

0

0


0



0

Рис. 2. Графіки зворотної функції


2.4. Квадратичні моделі

Квадратичні моделі використовуються для опису дуже широкого спектру економічних процесів завдяки їхнім універсальним можливостям. У загальному випадку квадратична модель має вигляд:

, ( 22 )

де β0, β1 і β2 – параметри моделі.

В залежності від знаків і значень параметрів моделі вона може відображати еволюцію – дуже різну на різних проміжках інтервалу зміни незалежної змінної х: зростання, спад, зростання з наступним спадом, спад з наступним зростанням. Так наприклад, квадратична модель може описувати кількісну залежність між обсягом випуску і середніми або граничними видатками, чи між витратами на рекламу і прибутками і т.і. Можливі варіанти графіків квадратичної функції мають наступний вигляд :

y

β2 > 0

y

β2 < 0







x


x

Рис. 3. Графіки квадратичної функції


Квадратична модель , як і зворотна, також відноситься до квазілійних і її лінеаризація виконується шляхом елементарної заміни змінних , і зведенням її до двохфакторної лінійної регресії :

, ( 23 )

параметри якої розраховуються за відомою методикою для лінійних економетричних моделей.
3. Прогнозування ТА ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ на основі нелінійних економетричних моделей

3.1. Прогнозування

А. Побудова точкового прогнозу.

Для побудови точкового прогнозу на основі нелінійної економетричної моделі може бути використана як нелінійна (звичайна) форма моделі так і лінійна форма, отримана у процесі лінеаризації.

При використані нелінійної форми моделі прогнозні значення пояснюючих змінних моделі безпосередньо підставляються у нелінійне рівняння регресії.

При використані лінійної форми моделі для визначення точкових прогнозних значень залежної змінної у випадку степеневої або показникової моделі слід пам’ятати ,що до рівняння регресії потрібно підставляти не безпосередньо прогнозні значення пояснюючих змінних ,а перетворені - тобто логарифми натуральні прогнозних значень пояснюючих змінних. Слід також пам’ятати ,що отримане точкове прогнозне значення залежної змінної для цих функції потрібно також шляхом зворотних перетворень (експонування) привести до нормального виду.

При використані квазілінійних моделей (зворотної і квадратичної) потрібно робити перехід тільки від прогнозних значень пояснюючих до перетворених у відповідності до виду перетворень, які були застосовані при лінеаризації цих моделей. Після обчислення точкового прогнозу зворотне перетворення , як у випадку степеневої і показникової моделей, не потрібне.

Б. Побудова інтервального прогнозу.

При побудові інтервального прогнозу для усіх розглянутих вище нелінійних моделей завжди використовується тільки їх лінійна форма.

Для степеневої і показникової моделі, як і при побудові точкового прогнозу, слід використовувати не безпосередньо прогнозні значення пояснюючих змінних і обчислене точкове прогнозне значення залежної змінної, а перетворені - тобто логарифми натуральні прогнозних значень пояснюючих змінних і логарифм точкового прогнозного значення залежної змінної. Після визначення верхньої і нижньої межи прогнозного інтервалу, як для індивідуального значення так і для математичного сподівання залежної змінної, необхідно шляхом експонування перейти від логарифмів прогнозних значень до фактичних.

При використані квазілінійних моделей (зворотної і квадратичної), як і у випадку точкового прогнозу робиться тільки перетворення прогнозних значень пояснюючих змінних, які і використовуються для визначення прогнозних інтервалів. Обчислені прогнозні інтервали при цьому не потребують зворотних перетворень.



3.2. Економіко - математичний аналіз на основі нелінійних моделей
Як і у випадку лінійних економетричних моделей на основі нелінійних економетричних моделей можна обчислити наступні показники :

  • показники середньої ефективності впливу пояснюючих змінних на залежну ;

  • показники граничної ефективності впливу пояснюючих змінних на залежну ;

  • показники відносного впливу пояснюючих змінних на залежну – коефіцієнти еластичності.

Ці показники можна визначити через оцінки параметрів лінійної форми за наступними відомими співвідношеннями:

, ( 24 )

, ( 25 )

, ( 26 )

де Аj – показник середньої ефективності впливу пояснюючої змінної на залежну змінну, Мj – показник ганичної ефективності впливу пояснюючої змінної на залежну змінну, – середній коефіцієнт еластичності, який характеризує відносний вплив пояснюючої змінної на залежну змінну.

Конкретний вираз наведених показників залежить від конкретного вигляду моделі, при цьому наведені формули слід застосовувати саме до лінійної форми відповідної нелінійної моделі. Для основних типів нелінійних економетричних моделей , розглянутих вище, формули для визначення цих показників на основі вибіркової моделі, подано у таблиці 1.

У таблиці 1 : - середнє значення залежної змінної, обчислене для масиву розрахункових значень залежної змінної, - середнє значення пояснюючої змінної, - параметри вибіркової функції регресії.


Основні показники для нелінійних економетричних моделей

Таблиця 1



Тип моделі

Загальний вигляд вибіркової лінійної форми

М

Е

log - linear







log – lin







Зворотна







Квадратична








ВИСНОВКИ

  1. Багато економічних залежностей, як свідчить економічна теорія, не є лінійними по суті, і тому їх моделювання лінійними залежностями, безумовно, не дає позитивний результат. Тому у практиці економетричного аналізу поряд з лінійними широкого розповсюдження набули нелінійні економетричні моделі.

  2. За своєю математичною природою нелінійні економетричні моделі представляють собою нелінійну регресію між економічними показниками.

  3. За методами оцінювання параметрів усі нелінійні економетричні моделі поділяються на два типи:

1) нелінійні за факторами, але лінійні за параметрами, які мають назву квазілінійних;

2) нелінійні за факторами і за параметрами.



  1. Квазілінійні моделі є більш простим і привабливим варіантом нелінійних моделей, оскільки оцінки параметрів таких моделей після нескладних перетворень можна отримати методами лінійного регресійного аналізу.

  2. Нелінійні за факторами і за параметрами економетричні моделі є більш складними і оцінювання їх параметрів, як правило, виконується методами нелінійного регресійного аналізу.

  3. У сучасній практиці економетричного моделювання широко застосовується лінеаризація нелінійних моделей – тобто зведення їх до лінійних шляхом відповідних математичних перетворень .

  4. До найбільш розповсюджених нелінійних моделей, які піддаються лінеаризації належать степенева, показникові(експоненційна), зворотна та квадратичні моделі.

  5. Прогнозування на основі нелінійних економетричних моделей має свої особливості , які пов’язані з необхідністю перетворення даних в процесі побудови прогнозів.

  6. Для побудови точкового прогнозу на основі нелінійних економетричних моделей можна використовувати як нелінійну так і лінійну форму цієї моделі.

  7. Для побудови інтервальних прогнозів на основі нелінійних економетричних моделей завжди потрібно використовувати тільки лінійну форму цієї моделі.

ч. 1
скачать файл

Смотрите также: